Teoria dos conjuntos
 Introdução
 Tarefa
 Processo
 Avaliação
 Conclusão
 Créditos
 

Warning: getimagesize(pastas/14816/SEM IMAGEM) [function.getimagesize]: failed to open stream: No such file or directory in /home/webquestfacil/www/introducao.php on line 20

Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. A teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos.

Foram Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870 que iniciaram o estudo moderno da teoria dos conjuntos. Numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.

.{\displaystyle a\rightarrow b}{\displaystyle U}{\displaystyle V}{\displaystyle \setminus A}{\displaystyle \sim a}Axiomas de Zermelo-Fraenkel

Na matemática, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, nomeada em homenagem aos matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel e comumente abreviada como ZFC, é um dos muitos sistemas axiomáticos que foram propostos no início do século XX para promover uma teoria dos conjuntos sem os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos, como o paradoxo de Russell. Especificamente, a ZFC não permite o axioma da compreensão. Atualmente, a ZFC é a forma padrão da teoria axiomática dos conjuntos, sendo o fundamento matemático mais comum. A ZFC deve formalizar uma única noção primitiva de um conjunto hereditário bem-fundado, para que cada indivíduo no domínio de discurso seja um conjunto. Desta forma, os axiomas da ZFC se referem apenas a conjuntos, e não urelementos (elementos de conjuntos que não são conjuntos) ou classes (coleções de objetos matemáticos definidos por uma propriedade em comum de seus membros). Os axiomas da ZFC protegem  seus modelos de possuírem urelementos, e classes próprias só podem ser tratadas indiretamente. Formalmente, a ZFC é uma teoria de estruturas de lógica de primeira ordem. A assinatura possui igualdade e uma única relação binária primitiva, que é a pertinência, normalmente denotada por ∈. A fórmula a ∈ b significa que o conjunto a é membro do conjunto b (que também é lido como "a é elemento de b" ou "a está em b"). Existem várias formulações equivalentes dos axiomas da ZFC. A maioria de seus axiomas formulam a existência de conjuntos particulares definidos a partir de outros conjuntos. Por exemplo, o axioma do par diz que, dados dois conjuntos quaisquer a e b, existe um novo conjunto {ab} contendo exatamente a e b. Outros axiomas descrevem propriedades da pertinência de conjuntos. Um dos objetivos dos axiomas da ZFC é que cada axioma deve ser verdade se interpretado como uma afirmação sobre a coleção de todos os conjuntos do universo de von Neumann (também conhecido como a hierarquia cumulativa). A metamatemática da ZFC foi estudada extensivamente. Resultados marcantes dessa área estabeleceram a independência da hipótese do contínuo da ZFC, e o axioma da escolha dos axiomas restantes da ZFC.

Áreas de estudo onde a teoria dos  Conjuntos tem participação

 

 Conjunto

Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos.

Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada 'está contido'. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não o é. A partir desta definição, é óbvio que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade.

Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. O (A):

  • União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}.
  • Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}.
  • Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação Ac é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn.
  • Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) \ (A ∩ B).
  • Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B.
  • Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais.

A notação ∀x na teoria dos conjuntos representa "para todo e qualquer". Ex.: Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B) para todo e qualquer x contido em ambos os conjuntos (A=B).

Universo de von Neumann 

Um segmento inicial da hierarquia de von Neumann.

Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendo apenas o conjunto vazio é um conjunto não vazio puro. Na teoria dos conjuntos moderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados para axiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com esta restrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente, todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em quão profundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. A cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal a, conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida como sendo uma mais do que o menor limitante superior das classes de todos os membros de X. Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuída a classe 0, enquanto ao conjunto {{}} contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada a, o conjunto Va é definido como consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que a. O universo de von Neumann como um todo é denotado por V.

Teoria axiomática   dos conjuntos

Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e por isso pode ser ensinado nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfaçam uma condição particular de definição. Esta hipótese dá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. Teoria axiomática dos conjuntos foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.[7]

Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja ontologia consiste de:

Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos que podem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem nenhum membro.

Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) não são baseadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um"conjunto de tudo", em relação a qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas urelementos importam, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais o axioma da escolha não se verifica.

Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, firmam seus conjuntos de axiomas na lógica intuicionista em vez da lógica de primeira ordem. No entanto, outros sistemas admitem por padrão a lógica de primeira ordem, mas apresentam uma relação membro não-padrão. Estes incluem a teoria grosseira dos conjuntos e a teoria dos conjuntos difusa, na qual o valor de uma formula atômica incorporando a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Os modelos de valores Booleanos de ZFC são um assunto relacionado.

Combinatória 

Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.

Teoria descritiva dos conjuntos 

Teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da reta real e dos subconjuntos dos espaços poloneses. Ela começa com o estudo das pointclasses na hierarquia de Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como a hierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. Muitas propriedades dos conjuntos de Borel podem ser estabelecidas em ZFC, , mas a prova de que essas propriedades se verificam para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados com determinismo e grandes cardinais.

O campo da teoria descritiva dos conjuntos efetiva está entre a teoria dos conjuntos e a teoria da recursão. Ele inclui o estudo de lightface pointclasses, e está intimamente relacionado com a teoria hiperaritmética. Em muitos casos, os resultados da teoria descritiva dos conjuntos clássica têm versões efetivas; em alguns casos, novos resultados são obtidos provando pela versão efetiva primeiro e depois estendendo-os ("relativizando-os") para torná-la mais amplamente aplicáveis.

Uma área recente de pesquisa diz respeito a relações de equivalência de Borel e relações de equivalência decidíveis mais complicadas. Isto tem importantes aplicações para o estudo de invariantes em muitos campos da matemática.

Teoria dos conjuntos fuzzy

Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, um objeto ou é um membro de um conjunto ou não. Na teoria dos conjuntos fuzzy esta condição foi relaxada, e desta forma um objeto tem um grau de pertinência em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de pertinência de uma pessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que uma simples resposta "sim" ou "não" e pode ser um número real, tal como 0,75.

Conjuntos fuzzy foram introduzidos simultaneamente[8] por Lotfi A. Zadeh[9] e Dieter Klaua[10] em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjunto. Na teoria dos conjuntos clássica, a associação de elementos em um conjunto é avaliada em termos binários de acordo com uma condição bivalente - um elemento ou pertence ou não pertence ao conjunto. Por outro lado, a teoria dos conjuntos fuzzy permite a avaliação gradual da participação de elementos em um conjunto, o que é descrito com a ajuda de uma função de pertinência valorada no intervalo unitário real [0, 1]. Conjuntos fuzzy generalizam conjuntos clássicos, visto que as funções indicadoras de conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência de conjuntos fuzzy, se estes só podem tomar os valores 0 ou 1.[11] Na teoria dos conjuntos fuzzy, conjuntos clássicos bivalentes são geralmente chamados conjuntos crisp. A teoria dos conjuntos fuzzy pode ser usada em uma ampla variedade de áreas em que a informação é incompleta ou imprecisa, como na bioinformática.[12]

Teoria do modelo interno

Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o Universo construível L desenvolvido por Gödel. Uma das razões que torna o estudo de modelos internos interessante é que ele pode ser usado para provar resultados de consistência. Por exemplo, pode-se mostrar que, independentemente se um modelo V da ZF satisfaz a hipótese do continuum ou o axioma da escolha, o modelo interno Lconstruído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a hipótese do continuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF é consistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes dois princípios é consistente.

O estudo de modelos de interior é comum no estudo do determinismo e grandes cardinais, especialmente quando se considera axiomas que contradizem o axioma da escolha. Mesmo que um modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaz o axioma da escolha, é possível que um modelo interno falhe em satisfazer o axioma da escolha. Por exemplo, a existência de cardinais suficientemente grandes implica que há um modelo interno satisfazendo o axioma do determinismo (e, portanto, não satisfazendo o axioma da escolha).[13]

Propriedade de grande cardinal

Um grande cardinal é um número cardinal transfinito cujo caráter de "muito grande" está dado por uma propriedade extra, denominada propriedade de grande cardinal. Estas propriedades são estudadas, incluindo cardinais inacessíveiscardinais mensuráveiscardinais compactos, entre outras. A existência de um cardinal com uma dessas propriedades não pode ser demonstrada ​​na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, se ZF é consistente.

Determinismo

Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A existência dessas estratégias tem conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, como a suposição de que uma classe mais ampla de jogos ser determinada muitas vezes implica que uma classe mais ampla de conjuntos possui uma propriedade topológica. O axioma do determinismo (AD) é um importante objeto de estudo , AD implica que todos os subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis ​​e com a propriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus de Wadge têm uma estrutura alinhada.

Forçamento

Paul Cohen  inventou o método de forçamento enquanto procura por um modelo de ZFC em que o axioma da escolha ou a hipótese do continuum falhe. Forçando a adição de conjuntos adicionais a algum determinado modelo da teoria dos conjuntos de modo a criar um modelo maior, com propriedades determinadas (isto é "forçadas") pelo modelo original e pela construção.A construção de Cohen uniu subconjuntos adicionais dos números naturais sem mudar qualquer dos números cardinais do modelo original. Forçamento é também um dos dois métodos para provar consistência relativa por métodos finitístico, sendo o outro os modelos de valores Booleanos.

 

 Invariante cardinal

Invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal. Uma invariante bem estudada é a menor cardinalidade de uma coleção de conjuntos magros de reais cuja união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentido de que quaisquer dois modelos da teoria dos conjuntos isomorfos deve dar o mesmo cardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais foram estudados, e as relações entre eles são muitas vezes complexas e relacionadas com os axiomas da teoria dos conjuntos.

Topologia (matemática) e Topologia

Topologia estuda questões de topologia geral que são de teoria dos conjuntos em sua natureza ou que requerem métodos avançados da teoria dos conjuntos para sua solução. Muitos desses teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para a sua prova. Um famoso problema é o problema do espaço de Moore, uma questão na topologia geral que foi objecto de intensa pesquisa. A resposta para este problema acabou por ser provada ser independente de ZFC.

Objeções à teoria dos conjuntos como fundamento para a matemática

Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como um fundamento para a matemática, argumentando, por exemplo, que é apenas um jogo que inclui elementos de fantasia. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, um manifesto de Kronecker nos primeiros anos da teoria dos conjuntos, começou a partir da visão construtivista de que a matemática é vagamente relacionada à computação. Se este ponto de vista for admitido, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria ingênua dos conjuntos quanto na teoria axiomática dos conjuntos, introduz em matemática métodos e objetos que não são computáveis. Ludwig Wittgenstein questionou a forma como a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel manipulava infinitos. As visões de Wittgenstein sobre os fundamentos da matemática foram mais tarde criticada por Georg Kreisel e Paul Bernays, e minuciosamente investigadas por Crispin Wright, entre outros.

Teóricos das categorias propuseram a teoria de topos como uma alternativa à tradicional teoria axiomática dos conjuntos. Teoria de topos pode interpretar várias alternativas para aquela teoria, tais como o construtivismo, a teoria dos conjuntos finitos, e a teoria dos conjuntos computáveis.

 


© 2010 Todos direitos reservados.